Analisis Ragam / Analysis of variance (Anova) dua arah dengan interaksi

Anova dua arah dengan interaksi merupakan anova jenis ketiga dan juga terakhir dibahas untuk materi anova. jenis lainnya yaitu anova satu arah dan anova dua arah tanpa interaksi. untuk anova dua arah dengan interaksi ini sedikit agak rumit dalam perhitungannya tapi yang penting adalah konsep dari anova dua arah dengan interaksi. konsepnya hampir sama jika ingin membandigkan dengan anova lainnya.

Kapan menggunakan Analisis ragam (Anova) dua arah dengan interaksi?

Anova digunakan untuk melihat perbandingan rata-rata beberapa kelompok biasanya lebih dari dua kelompok. Anova dua arah digunakan pada kelompok yang digunakan berasal dari sampel yang sama tiap kelompok. sama disini diartikan berasal dari kategori yang sama. Jadi, bisa disimpulkan Pertama yang perlu dilihat tujuannya membandingkan rata-rata kelompok lebih dari dua. Kedua Sampel yang digunakan merupakan sampel yang sudah dikategorikan per kelompok sama. Konsep ketiga yang perlu dimengerti adalah setiap kelompok tersebut dilakukan pengulangan pengujian. ini seperti menggabung anova satu arah dan anova dua arah tanpa interkasi. Bingung yaa. Agar mengerti maksudku nanti kita lihat dengan contoh.

Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis varians (anova):

1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-Snedecor
2. Varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas, karena hanya digunakan satu penduga (estimate) untuk varians dalam contoh
3. Masing-masing contoh saling bebas, yang harus dapat diatur dengan perancangan percobaan yang tepat
4. Komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif (saling menjumlah).

Hipotesis dalam Anova (analysis of variance) dengan interaksi:

Dalam analysis of variance dua arah dengan interaksi terdapat tiga hipotesis yang digunakan yaitu apakah ada perbedaan rata-rata antar kategori baik kategori berdasarkan baris maupun kolom. hipotesis tambahan satu lagi yaitu apakah ada interaksi antara kategori baris dan kolom. Berikut hipotesis dalam Anova dua arah dengan interaksi.

• Hipotesis anova kolom
  H0: a1 = a2 = ... = ak, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori kolom
  H1: a1 ≠ a2 ≠ ... ≠ ak, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori kolom
• Hipotesis anova baris
  H0: b1 = b2 = ... = bj, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori baris
  H1: b1 ≠ b2 ≠ ... ≠ bj, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori baris
• Hipotesis interaksi
  H0: (ab)11 = (ab)12 = ... = (ab)kj, Tidak ada interaksi antara variabel baris dan kolom
  H1: (ab)11 ≠ (ab)12 ≠ ... ≠(ab)kj, ada interaksi antara variabel baris dan kolom

Langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVA

1. kelompokkan berdasarkan kategori tertentu
   Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).
2. Menentukan tipe anova
   Untuk menentukan tipe anova. terlebih dahulu bertanya apakah dari hipotesis tersebut cocok untuk anova? jika tujuannya membandingkan rata-rata tiga kelompok atau lebih maka boleh pakai Anova. Pertanyaan kedua apakah sampel tiap kelompok diambil dari sampel yang sudah dikategorikan? jika berasal dari sampel yang sudah dikategorikan maka menggunakan Anova dua arah/two way. Pertanyaan ketiga apakah dalam sampel yang dikategorikan tadi terjadi pengulangan atau tidak? jika terjadi pengulangan maka menggunakan anova dua arah dengan interaksi.
3. Memeriksa apakah sudah memenuhi asumsi-asumsi sehingga bisa digunakan anova
   
   • Normalitas,
     adalah Menguji apakah data tiap kelompok memiliki distribusi normal. hal ini bisa dilakukan dengan uji kolmogorov smirnov, shapira wilk.
   • Homogenitas
     adalah Menguji apakah varians tiap kelompok sama. Dalam menghitung homogenitas bisa digunakan uji bartlett dan uji levene.
   • Saling bebas
     Menunjukkan bahwa setiap kelompok tidak saling berhubungan. Biasanya yang digunakan logika apakah saling bebas atau tidak.
   • Aditif (Saling menjumlahkan).
     Artinya data yang dianalisis merupakan data interval/rasio
4. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel.
   Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, berikut rumus dalam Anova:
   • Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat total (jkt).
     Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.
     
     
     Keterangan:
     k = banyaknya kolom
     r = Banyaknya baris
     n = banyak ulangan
     xijm = data pada baris ke-i, kolom  ke-j dan ulangan ke-m
     T*** = Total (jumlah) seluruh pengamatan
     
   • Sum Square Between column – jumlah kuadrat kolom (jkk).
     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     Keterangan
     T*j* = Total (jumlah) ulangan pada kolom ke-j
   • Sum Square Between row – jumlah kuadrat baris (jkb).
     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     Keterangan
     Ti** = Total (jumlah) ulangan pada baris ke-i
   • Interaksi JK[BK]
     Variansi rata-rata kelompok interaksi baris dan kolom terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
   
   
   • Sum Square within(SSw) – jumlah kuadrat galat (jkg).
     Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     JKG = JKT - JKK-JKB-JK[BK]
5. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom).
   Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau db) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung:
   
   • Derajat kebebasan untuk JKT
     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat total (JKT) ini akan kita lambangkan dengan dof JKT.
     db JKT = rkn - 1
   • Derajat kebebasan untuk JKK
     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat kolom (JKK) ini akan kita lambangkan dengan dof JKK.
     db JKK = k-1
   • Derajat kebebasan untuk JKB
     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat baris (JKB) ini akan kita lambangkan dengan dof JKB.
     db JKB = r-1
   • Derajat kebebasan untuk JK[BK]
     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat interaksi baris dan kolom JK[BK] ini akan kita lambangkan dengan dof JK[BK].
     db JK[BK] = [r-1][k-1]
   • Derajat kebebasan untuk JKG
     Merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat galat (JKG) ini akan kita lambangkan dengan dof JKG
     
     db JKG =rk[n- 1]
6. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.
   Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan kuadrat tengah atau deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS atau KT. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
   
   • KTK = JKK / db JKK
   • KTB = JKB / db JKB
   • KTG = JKG / db JKG
   • KT[BK] = JK[BK] / db JK[BK]
7. Menghitung F hitung
   Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.Fhitung ada tiga karena hipotesis ada tiga, sehingga setiap f hitung menjawab hipotesis.
   
   • Fhitung (kolom) = KTK/KTG
   • Fhitung (baris) = KTB/KTG
   • Fhitung (interaksi) = KT[BK]/JKG 
8. Menghitung F tabel
   Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-4) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F.
9. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel :
   
   • Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0
   • Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0
10. Buat kesimpulan,
    sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain.

Contoh penghitungan Analysis of variance (Anova) dengan tabel.

Berdasarkan langkah-langkah diatas untuk mempermudah perhitungan dibuat tabel seperti berikut:

Sumber Keragaman (SK)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat Bebas (db)	Kuadrat Tengah (KT)	F hitung
Kolom (K)		db JKK = k-1	KTK = JKK / db JKK	F hitung = KTK / KTG
Baris (B)		db JKK = r-1	KTK = JKB / db JKB	F hitung = KTB / KTG
Interaksi (BK)		db JK[BK] = [r-1][k-1]	KTK = JK[BK] / db JK[BK]	F hitung = KT[BK] / KTG
Galat (G)	JKG = JKT - JKK- JKB-JK[BK]	db JKG=r.k[n-1]	KTG = JKG / db JKG
Total (T)		db JKT= rkn-1

Contoh Kasus Anova dua arah dengan interaksi:

Terdapat 4 metode diet, 3 kelompok umur dan 3 ulangan. Berikut adalah data rata-rata penurunan berat badan setelah 1 bulan melakukan diet. Ujilah apakah penurunan berat badan sama untuk setiap metode diet, kelompok umur dan interaksi dengan taraf uji 5 %?

Umur	Penurunan Berat Badan (Kg)
	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
< 20 tahun #1 #2 #3	5 4 5	0 2 1	3 4 8	4 2 2
20-40 tahun #1 #2 #3	5 6 2	4 2 1	2 2 4	5 3 2
> 40 tahun #1 #2 #3	4 4 5	5 5 0	2 1 2	6 4 4

Solusi kasus Anova dua arah dengan interaksi

1. Merumuskan Hipotesis
   
• Hipotesis anova kolom
  H0: a1 = a2 = ... = ak, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori Metode(kolom)
  H1: a1 ≠ a2 ≠ ... ≠ ak, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori Metode (kolom)
• Hipotesis anova baris
  H0: b1 = b2 = ... = bj, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori umur (baris)
  H1: b1 ≠ b2 ≠ ... ≠ bj, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori umur (baris)
• Hipotesis interaksi
  H0: (ab)11 = (ab)12 = ... = (ab)kj, Tidak ada interaksi antara variabel metode dan umur
  H1: (ab)11 ≠ (ab)12 ≠ ... ≠(ab)kj, ada interaksi antara variabel metode dan umur
2. Identifikasi model.
   Pertama. berdasarkan hipotesis yang digunakan yaitu membandingkan rata-rata lebih dari dua kelompok maka metode yang mungkin adalah Anova. kedua Sampel yang digunakan tiap kelompok sudah dikategorikan sehingga tipe anova yang cocok adalah Anova dua arah. kemudian dari tiap kategori tersebut dilakukan pengulangan sehingga kita menggunakan anova dua arah dengan interaksi.
3. Memeriksa asumsi Anova.
   Dalam metode anova yang perlu diperhatikan ada empat seperti pada keterangan diatas. asumsi normal dan homogenitas antar varians kelompok harus terpenuhi. dalam contoh ini kita asumsikan asumsi terpenuhi karena kita fokus pada langkah-langkah anova dua arah dengan interaksi. kemudian kelompok yang dianalisis berasal dari kelompok saling bebas. dan data yang digunakan merupakan data rasio. Setelah asumsi ini terpenuhi maka bisa lanjut ke perhitungan selanjutnya. kalau tidak ganti metode.
4. Menyusun/mengkategorikan tabel data agar lebih mudah menghitungnya.
   Penghitungannya agak berbeda dengan jenis anova yang lain. perhitungannya terpisah seperti berikut:
   

   Umur	Penurunan Berat Badan (Kg)				Total Baris
   	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
   < 20 tahun #1 #2 #3	5 4 5	0 2 1	3 4 8	4 2 2	T1** = 40
   	T11* = 14	T12* = 3	T13* = 15	T14* = 8
   20-40 tahun #1 #2 #3	5 6 2	4 2 1	2 2 4	5 3 2	T2**
   	T21* = 13	T22* = 7	T23* = 8	T24* = 10
   > 40 tahun #1 #2 #3	4 4 5	5 5 0	2 1 2	6 4 4	T3**=42
   	T31* = 13	T32* = 10	T33* = 5	T34* = 14
   Total Kolom	T*1* = 40	T*2* = 20	T*3* = 28	T*4* = 32	Total T***=120

5. Perhitungan Tabel anova
   Agar mempermudah perhitungan kita menggunakan tabel berikut,
   

   Sumber Keragaman (SK)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat Bebas (db)	Kuadrat Tengah (KT)	F hitung
   Kolom (K)	JKK = 23,11	db JKK = 4-1 = 3	KTK =7,70	F hitung = 3,04
   Baris (B)	JKB = 0,67	db JKB = 3-1 =2	KTB =0.085	F hitung = 0.13
   Interaksi (BK)	JK[BK] = 31,56	db JK[BK] = 2x3 =6	KT[BK] =5.26	F hitung = 0.28
   Galat (G)	JKG = 60,67	db JKG= 3x4x2=24	KTG =2,53
   Total (T)	JKT =116	db JKT=[3x4x3] -1 =35

6. Menghitung F _tabel
   
   • F table Kolom pada α = 0.05 db JKK=3 dan db JKG=4 adalah 3,01
   • F table Baris pada α = 0.05 db JKB=2 dan db JKG=24 adalah 3,40
   • F table Interaksi pada α = 0.05 db JK[BK]=6 dan db JKG=24 adalah 2,51
7. Kesimpulan :
   Perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata penurunan berat badan pada Baris [Kel. Umur] dan Interaksi tidak berbeda [masih dianggap sama] hal ini terlihat dari f tabel untuk baris dan interaksi lebih kecil dari f hitung sedangkan rata-rata penurunan berat badan dalam Kolom [metode diet] dapat dikatakan berbeda karena f tabel lebih besar dari f hitung.